当塾の”京大受験コース”生徒さんたちでさえも最初はすごく苦手な人が多い整数分野。この分野の問題も、ある程度やり方があります。これだけですべての問題を解けるようにはなりませんが、今よりもきっと整数問題に取り組みやすくなると思います。

整数問題の代表的な解き方

整数問題の代表的な解き方を上の図にまとめてみました。一番上の段は整数問題に出くわしたときととらえてください。その時定番の解法で解けない場合は中段の2つの方針を考えてみましょう。中段で立てた方針にそって一番下段の定番のテクニックをうまく組み合わせていけばきっと正答に近づくことができます。

発想のコツ・最初に考えるべき2大ルール

ここでは整数問題に出くわし解法が思い浮かばないときにまず考えてみるべき2つの方法について説明します。

・その1、「実験をして法則を見抜く」

その名の通り、実験をして法則性を見抜くことが解答の第一歩となることが多いです。問題文で与えられているnなどの文字に小さい整数(1,2,3)などを入れてみてください。そこで法則性に気づくことができれば解答に大きく近づけます!
※「京大の森」の中にこの方法を使った実際の入試問題の解き方が多数載っています。興味のある方は是非チェックしてみてください。

・その2、「範囲を絞る」

整数の問題では、1つの式しかないが2つの変数があるときでも解けてしまいます。なぜかというと「変数が整数である」ということが立派なかつ強烈な条件となっているからです。簡単な具体例でいうと、「整数m,nがmn=1を満たすとき、m,nを求めよ。」という問題があった時、mとnは1どうしか-1どうしであることが、分かってしまいますよね。

代表的なテクニック

ここでは先ほどの2つの突破口を実際に行う際、その後問題を解く際に使う主な武器について説明します。

その1、余りの利用

「主に実験をして法則を見抜く」と相性の良いところです。実験することによりある数で割ったあまりで分類でき答えの範囲をしぼれることが多々あります。方針を立てる際に同時に頭に思い浮かべてみるのが良いかと思います。

その2、因数分解

こちらは主に「範囲を絞る」の時に使える武器になります。先ほどの「範囲を絞る」の具体例のように式が積の形になっていると整数問題が解きやすくなります。最初に与えられる式は因数分解がされていない形のとき、ここが一つの突破口になることがよくあります。

 

その3、不等式から絞り込む

 

主に「範囲を絞る」の時に使える武器になります。与えられたor自分で作った不等式をよく観察して答えの範囲を狭めていきましょう。

その他

もちろん上記の方法ですべてが解けるわけではなく、「平方完成の利用」や「次数下げ」を使った解法もあります。これらの方法も演習の際に出くわすことがあると思います。その都度解答をよく見て吸収していってもらえればと思います。

まとめ

整数問題の突破口について簡単に書いてみました。いかがでしたでしょうか?もちろんこれだけですべての問題が解けるわけではありませんが、今までより少しは整数問題にとっつきやすくなったのではないでしょうか?実際の入試問題でどのようにこれらの考え方を利用しているのかは、また【くら塾オンライン数学科】のサイトにアップしていく予定です。興味のある方は是非一度確認してみてください。